Tom Leinster「ベーシック圈論普遍性からの速習コース」2014

"Basic Category Theory"

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序論

例 0.2 有理整數環$ \Zは環の圈$ \bf Ringの始對象である

例 0.4 線形空閒の基底の添へ字$ S:=\{0,1,\dots,n\}から線形空閒の基底への寫像は、任意の線形寫像に對して一通りに擴張できる

例 0.5 離散位相空閒$ D(S)は集合$ Sに對して定まる位相と連續函數の圈の始對象である

例 0.6 tensor 積$ U\otimes Vは雙線形寫像$ U\times V\to Tと餘域の閒の線形寫像の圈の始對象である

例 0.8 任意の群準同型$ \theta:G\to Hと自明な群準同型$ \epsilon:G\to H,g\mapsto 1_Hに對して、核 (ker)$ \iota:{\rm ker}(\theta)\to Gは等化子である

例 0.9 位相空閒$ Xは、包含寫像の成す圈において、その被覆$ X=U\cup Vの圖式$ U\hookleftarrow U\cup V\hookrightarrow Vの押し出しである

演習問題

0.10 密着位相空閒$ I(S)は集合$ Sに對して定まる位相と連續函數の圈の終對象である

0.11 例 0.8

0.12 例 0.9

0.13

0.14

例 1.2.8 群からの函手$ G\to{\bf Set}は$ G-集合 (群作用) である

例 1.3.22 圈同値$ \mathscr A^{\rm op}\simeq\mathscr Bはしばしば雙對性と呼ばれる

Gelfand-Naimark 雙對性 (Гельфанда 雙對)

單位的可換 C*-環の圈は compact (位相) Hausdorff 空閒の圈の雙對である

$ kを代數的閉體とする。$ k上の affine 多樣體の圈は冪零元を有たない有限生成$ k代數 (多元環) の圈の雙對である

局所 compact 可換位相群の圈は自分自身の雙對である

第 3 章 : 休憩 : 集合論について

附錄 A 一般隨伴函手定理の證明